如何解三次方程

三次方程的最高次数为3次，它有3个解，或者说3个根，方程本身的形式是。虽然三次方程有些令人望而生畏，并且的确不好解，但在具备大量基础知识的前提下，只要使用正确的方法，即使是最棘手的三次方程问题也可以顺利求解。三次方程的解法有很多种，你可以尝试使用二次公式、求整数解或确定判别式方法。

步骤

方法 1

方法 1 的 3:

解不含常数项的三次方程

1
检查三次方程，看是否包含常数项 d {\displaystyle d} 。三次方程的形式为。但是，唯一必要的关键项是 $x^{3}$ ，这意味着三次方程中未必会出现其他项。
- 如果方程中包含常数项 $d$ ，那么你就必须使用其它解法。
- 如果 $a = 0$ ，那么这个方程就不是三次方程。
2
提取方程的公因式 x {\displaystyle x} 。由于方程没有常数项，所以其中各项都包含变量 $x$ 。也就是说，可以提取方程的公因式 $x$ 来简化方程。这样做之后，可以将方程重写为。
- 例如，假设我们一开始要解的方程是。
- 提取方程的公因式 $x$ ，得到。
3
如果可能，将得到的二次方程因式分解。很多情况下，提取公因式 $x$ 后得到的二次方程都能被因式分解。例如，如果要解，你可以：
- 提取公因式 $x$ ：
- 将括号内的二次方程因式分解：
- 设各因式等于 $0$ 。得到方程的解。
4
如果无法手动对括号内的部分进行因式分解，可使用二次公式求解。你可以将 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的值代入二次公式()中，算出使二次方程等于0的x值。使用这种方法可以求出三次方程的两个解。
- 示例中，将 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值 $3$ 、 $- 2$ 和 $14$ 分别代入到以下二次公式：
- 解1:
- 解2:
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零和二次方程的解就是三次方程的解。二次方程有两个解，而三次方程有三个。你已经求出其中的两个解，即你为括号中“二次”部分求出的解。对于可以用“因式分解”方法求解的方程，第三个解一定为 $0$ 。
- 将方程分解为包含两个因式的形式，左边的因式是变量 $x$ ，右边的因式是括号内的二次方程。如果任一因式等于 $0$ ，则整个方程等于 $0$ 。
- 因此，使括号内的二次因式等于 $0$ 的两个解是三次方程的解，而使左边因式等于 $0$ 的 $0$ 本身，也是三次方程的解。

方法 2

方法 2 的 3:

使用因数表求整数解

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确保三次方程有一个 d {\displaystyle d} 值不等于零的常数项。如果形式为的方程拥有一个不等于零的 $d$ 值，那就无法将它因式分解为二次方程。但是不用担心，你还可以使用其他方法，比如下文中介绍的方法。
- 以方程为例。这个方程中，要让等号的右边等于 $0$ ，你需要两边都加 $6$ 。
- 得到新的方程。由于 $d = 6$ ，你无法使用二次方程方法。
2
找出 a {\displaystyle a} 和 d {\displaystyle d} 的因数。要解三次方程，我们需要先关注 $x^{3}$ 项的系数 $a$ 以及方程最后的常数项 $d$ ，找出它们各自的因数。记住，如果两个数字相乘得到另一个数，那么这两个数就是乘积的因数。
- 例如，由于你可以用和得到6，所以1、2、3、6就是6的因数。
- 例题中， $a = 2$ ，而 $d = 6$ 。2的因数是1和2。6的因数是1、2、3、6。
3
用 a {\displaystyle a} 的因数除以 d {\displaystyle d} 的因数。将 $a$ 的各因数除以 $d$ 的各因数所得的值罗列出来。这样做通常会得到许多分数和几个整数。三次方程的整数解要么是其中的一个整数，要么是其中一个整数的相反数。
- 例题中，用 $a$ 的因数1和2除以 $d$ 的因数1、2、3、6，得到： $1$ ，，，， $2$ 和。然后，我们将各数字的相反数加入进去，使之更加完整： $1$ ， $- 1$ ，，，，，，， $2$ ， $- 2$ ，和。三次方程的整数解就在其中。
4
手动代入整数，这种方法较为简单，但可能会比较费时。得到相除的结果后，你可以迅速将整数手动代入，看哪些能让三次方程等于 $0$ ，进而求出方程的解。例如，如果将 $1$ 代入方程，可以得到：
- ，即，结果不等于 $0$ 。因此，使用得到的下一个值。
- 如果将 $- 1$ 代入方程，得到，结果等于 $0$ 。这意味着 $- 1$ 是方程的一个整数解。
5
使用更复杂，但可能更快速的综合除法。如果你不想花时间一个一个地去代入所有的值，不妨尝试一下更快捷的方法，也就是所谓的综合除法。总的来说，你应该使用综合除法，用得到的整数值除以 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 。如果得到余数 $0$ ，那么这个值就是三次方程的解。
- 综合除法是一个复杂的主题，超出了本文论述的范围。以下的例子示范了如何用综合除法求三次方程的解：
  
  -1 | 2 9 13 6
  
  __| -2-7-6
  
  __| 2 7 6 0
- 由于得到的最终余数为 $0$ ，由此可知， $- 1$ 是三次方程的一个整数解。

方法 3

方法 3 的 3:

使用判别式方法

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写下 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 、 c {\displaystyle c} 和 d {\displaystyle d} 的值。本方法会大量用到方程各项的系数。开始前，记下 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 的值，免得之后混淆。
- 对于例题，写下 $a = 1$ 、 $b = - 3$ 、 $c = 3$ 和 $d = - 1$ 。注意，如果有 $x$ 变量前没有系数，这代表它的系数为 $1$ 。
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使用正确的公式计算判别式零。用判别式方法求三次方程的解会用到十分复杂的数学原理，但如果严格遵循方法流程，你会发现，它在解令其他方法束手无策的三次方程方面十分实用。首先，将适当的值代入到公式中，求出第一个重要数值，即判别式零。
- 判别式是一个数字，可以为我们提供关于多项式根的信息。你可能已经知道二次判别式是()。
- 例题中的计算过程如下：
3
然后，计算。你需要的下一个重要数值是判别式 $1$ ，即，它的计算过程会稍微复杂一点，但方法与基本相同。将适当的值代入到公式中，得到的值。
- 例题中的计算过程如下：
4
计算: 。然后，我们会使用和的值计算三次方程的判别式。在三次方程中，如果判别式为正数，则方程有三个实数解。如果判别式等于零，则方程有一个或两个实数解，且有时两个实数解会相等。如果判别式为负数，则方程只有一个实数解。
- 三次方程必定有至少一个实数解，因为其函数图形必定会与X轴相交至少一次。
- 例题中，由于和都等于 $0$ ，所以 $Δ$ 的计算相对简单。计算过程如下：
  
  ，所以方程有一个或两个解。
5
计算: 。最后一个需要计算的重要数值是 $C$ 。它能帮助我们在最后求出三个根。按照正常计算过程，根据需要代入和。
- 例题中， $C$ 的计算过程如下：
  
  $0 = C$
6
使用变量计算三个根。三次方程的根或解可以使用公式计算，其中，而n等于1、2或3。根据需要代入数值进行计算，其中涉及到大量的数学运算，但你应该可以得到三个使方程成立的解。
- 你可以分别计算n等于1、2、3时公式的值，来求得例题的答案。这样得到的答案可能就是三次方程的解。你可以将答案代入到方程中，使之等于0的答案即为方程的正确解。
- 例如，将1代入到中，计算结果为0，所以1就是三次方程的一个解。