如何求矩形对角线的长度

对角线是连接矩形的一个角及其对角的一条直线。一个矩形有两条对角线，它们长度相等。如果知道矩形各边的边长，你可以借助勾股定理轻易地算出对角线的长度，因为对角线将矩形分成了两个直角三角形。如果你不知道边长，但知道面积和周长，或边长之间的关系等其他信息，你可以先计算出矩形的长和宽，然后再用勾股定理算出对角线的长度。

步骤

方法 1

方法 1 的 3:

使用长和宽

1
列出勾股定理的公式。该公式是，其中 $a$ 和 $b$ 是直角三角形直角边的边长，而 $c$ 是直角三角形的斜边长度。
- 由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。矩形的长和宽是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。
2
将长和宽代入到公式中。长和宽应该是已知条件，又或者你可以量出它们的长度。确保你用长和宽代入的是 $a$ 和 $b$ 。
- 例如，如果矩形的宽是3 cm，而长是4 cm，代入公式后得到如下等式：。
3
算出长和宽的平方，然后相加求和。记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。
- 例如：
4
将等式两边开平方。最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。这样可以算出 $c$ 的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。
- 例如：
  
  $5 = c$
  因此，宽为3 cm，而长为4 cm的矩形，其对角线的长度是5 cm。

方法 2

方法 2 的 3:

使用面积和周长

1
列出矩形的面积公式。该公式是 $A = l w$ ，其中 $A$ 为矩形的面积， $l$ 为矩形的长，而 $w$ 为矩形的宽。
2
将矩形的面积代入到公式中。确保你代入的是变量 $A$ 。
- 例如，如果矩形的面积是35平方厘米，则代入后得到如下等式： $35 = l w$ 。
3
变换等式，使之变成 w {\displaystyle w} 的表达式。等式两边都除以 $l$ 。将这个表达式放到一边。稍后你会将它代入周长公式。
- 例如：
  $35 = l w$
  。
4
列出矩形的周长公式。该公式是，其中 $w$ 为矩形的宽，而 $l$ 为矩形的长。
5
将周长的值代入到公式中。确保你代入的是变量 $P$ 。
- 例如，如果矩形的周长是24厘米，则代入后会得到如下等式：。
6
等式两边都除以2。这样就算出了 $w + l$ 的值。
- 例如：
  
  。
7
将 w {\displaystyle w} 的表达式代入到等式中。使用你变换面积公式得到的表达式。
- 例如，如果使用你变换而得的表达式，把它代入周长公式中的 $w$ ：
8
去掉等式中的分母。等式两边都乘以 $l$ 。
- 例如：
9
使等式一边等于0。等式两边都减去一次项。
- 例如：
10
按项次对等式重新排序。这意味着带指数的项排第一个，然后是带变量的项，最后是常量。重新排序时，请注意保留正确的正、负符号。你应该注意到了，这个等式现在变成了一个二次方程。
- 例如，变成了。
11
将二次方程因式分解。关于如何进行此步骤的完整说明，请阅读解二次方程。
- 例如，方程可因式分解成。
12
求 l {\displaystyle l} 的值。令各项等于零，求出变量。你会得到方程的两个解，或两个根。由于你面对的是一个矩形，所以得到的两个根是矩形的宽和长。
- 例如：
  
  $7 = l$
  及
  
  $5 = l$ 。
  因此，矩形的长和宽分别为7 cm和5 cm。
13
列出勾股定理的公式。该公式是，其中 $a$ 和 $b$ 是直角三角形直角边的边长，而 $c$ 是直角三角形斜边的边长。
- 由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。矩形的宽和长是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。
14
将宽和长代入到公式中。此时，长可以随意代入到a或b中，将宽代入另一个即可。
- 例如，如果你算出矩形的宽和长为5 cm和7 cm，代入后得到如下等式：。
15
算出宽和长的平方，然后相加求和。记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。
- 例如：
16
将等式两边开平方。最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。这样可以算出 $c$ 的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。
- 例如：
  
  因此，面积为而周长为24 cm的矩形，其对角线长度约等于8.6 cm。

方法 3

方法 3 的 3:

使用面积和边长的相对关系

1
写下能够说明两条边边长之间关系的等式。你可以将之写成长( $l$ )或宽( $w$ )的表达式。将这个等式放到一边。稍后你会将它代入面积公式。
- 例如，如果已知矩形的宽比矩形的长要长2 cm，你可以列出 $w$ 的表达式： $w = l + 2$ 。
2
列出矩形的面积公式。该公式是 $A = l w$ ，其中 $A$ 为矩形的面积， $l$ 为矩形的长，而 $w$ 为矩形的宽。
- 如果知道矩形的周长，你也可以使用这种方法，不过列出的应该是周长公式，而非面积公式。矩形的周长公式是，其中 $w$ 为矩形的宽，而 $l$ 为矩形的长。
3
将矩形的面积代入到公式中。确保你代入的是变量 $A$ 。
- 例如，如果矩形的面积是35平方厘米，则代入后得到如下等式： $35 = l w$ 。
4
将长或宽的关系表达式代入公式中。由于你面对的是一个矩形，所以求 $l$ 或 $w$ 变量的值都可以。
- 例如，如果你知道 $w = l + 2$ ，可以将这个表达式代入面积公式中的 $w$ ：
  $35 = l w$
5
列出二次方程。用括号前的系数乘以括号内的各项，然后使方程的一边等于0。
- 例如：
6
将二次方程因式分解。关于如何进行此步骤的完整说明，请阅读解二次方程。
- 例如，方程可因式分解成。
7
求 l {\displaystyle l} 的值。令各项等于零，求出变量。你会求出方程的两个解，或两个根。
- 例如：
  
  $- 7 = l$
  及
  
  $5 = l$ 。
  在本例中，你会得到一个负数根。由于矩形的长不可能为负数，所以长必定为5 cm。
8
将长或宽的值代入到关系表达式中。这样就算出了矩形另一条边的边长。
- 例如，如果你知道矩形的长为5 cm，且边长之间的关系为 $w = l + 2$ ，可以将长的值5代入到表达式中：
  $w = l + 2$
  $w = 5 + 2$
  $w = 7$
9
列出勾股定理的公式。该公式是，其中 $a$ 和 $b$ 是直角三角形直角边的边长，而 $c$ 是直角三角形斜边的边长。
- 由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。矩形的宽和长是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。
10
将宽和长代入到公式中。此时，长可以随意代入到a或b中，将宽代入另一个即可。
- 例如，如果你算出矩形的宽和长为5 cm和7 cm，代入后得到如下等式：。
11
算出宽和长的平方，然后相加求和。记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。
- 例如：
12
将等式两边开平方。最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。这样可以算出 $c$ 的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。
- 例如：
  
  因此，宽比长要长2 cm，且面积为的矩形，其对角线的长度约等于8.6 cm。